Bonneu, Florent (2009) Processus ponctuels spatiaux pour l'analyse du positionnement optimal et de la concentration. École doctorale Mathématiques, Informatique et Télécommunications (Toulouse).

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Abstract

Les processus ponctuels spatiaux forment une branche de la statistique spatiale utilisée dans des domaines d'application variés. Nous nous intéressons principalement dans cette thèse à l'apport de la théorie des processus ponctuels spatiaux pour des problèmes de positionnement optimal, ainsi que pour la définition de nouveaux indices de concentration basés sur les distances. Le problème de positionnement optimal s'écrit souvent comme un problème d'optimisation prenant en compte des données géo-référencées auxquelles peuvent être associées des caractéristiques. Pour prendre en compte l'aléa, nous considérons ces données issues d'un processus ponctuel spatial pour résoudre un problème de positionnement stochastique plus réaliste qu'un modèle déterministe. A travers l'étude du positionnement optimal d'une nouvelle caserne de pompiers dans la région toulousaine, nous développons une méthode de résolution stochastique permettant de juger de la variabilité de la solution optimale et de traiter des bases de données volumineuses. L'approche implémentée est validée par des premiers résultats théoriques sur le comportement asymptotique des solutions optimales empiriques. La convergence presque sûre des solutions optimales empiriques de l'étude de cas précédente est obtenue dans un cadre i.i.d. en utilisant la théorie de Vapnik-Cervonenkis. Nous obtenons aussi la convergence presque sûre des solutions optimales empiriques, dans un cadre plus général, pour un problème de positionnement dérivé du problème de transport de Monge-Kantorovich. Nous nous intéressons ensuite à des indices de concentration basés sur des distances qui peuvent s'inscrire comme des estimateurs de caractéristiques du second ordre de processus ponctuels marqués. Nous introduisons un estimateur non-paramétrique d'une nouvelle caractéristique définissant ainsi un nouvel indice de concentration. Dans un cadre asymptotique avec fenêtre d'observation bornée, notre estimateur est asymptotiquement sans biais.

Spatial point processes form a branch of spatial statistic used in various application areas (forestry, geo-marketing, seismology, epidemiology, ...) and developed by recent theoretical results. We are interested primarily in this thesis to the use of spatial point processes theory for solving optimal positioning problems, and for defining new concentration indices based on distances in economectrics. The optimal positioning problem is often written as an optimization problem taking into account geo-referenced data with associated characteristics. We consider that the inputs of the problem are a realization of a spatial point process and solve a stochastic positioning problem more realistic than the deterministic model. Through the study of optimal positioning of a new fire station in the Toulouse area, we introduce a new stochastic approach that gives an indication of the spatial variability of the optimal solution and allows to solve larger problems. The implemented approach is validated by preliminary theoretical results on the asymptotic behaviour of empirical solutions. The almost sure convergence of empirical optimal solutions of the case study is obtained in an i.i.d. framework using the Vapnik-Cervonenkis theory. We also obtain the almost sure convergence of empirical optimal solutions, in a more general framework, for a positioning problem derived from the Monge-Kantorovich transport problem. Then we turn attention to concentration indices based on distances in econometrics. These concentration indices can be written as estimators of second order characteristics of marked point processes. We then define a nonparametric estimator of a new characteristic of a spatial marked point process defining a new concentration index improving existing ones. In an infill asymptotic framework, our estimator is asymptotically unbiased.